Question

14．已知四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如圖①，判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）如圖②，E是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)E在AB的下方，若⊙O的半徑為3cm，AE=5cm，求點(diǎn)E到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）連接OD，則∠AOD為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．
（2）作EF⊥AB于F，連接BE，根據(jù)圓周角定理得∠AEB=90°，然后根據(jù)勾股定理求得BE，然后根據(jù)sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$求得EF即可．

解答 解：（1）CD與圓O相切．
證明：如圖①，連接OD，則∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD與圓O相切．

（2）如圖②，作EF⊥AB于F，連接BE，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$．
∴$\frac{\sqrt{11}}{6}$=$\frac{EF}{5}$
∴EF=$\frac{5\sqrt{11}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，注意輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．