Question

19．傾聽(tīng)理解：
一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兩個(gè)同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件探索函數(shù)問(wèn)題，下面是他們的交流片斷：

問(wèn)題解決：
（1）填空：圖②中，乙發(fā)現(xiàn)的$\frac{MN}{PM}$的比值是$\frac{1}{2}$；
（2）記圖①，圖②中MN為d₁，d₂，分別求出d₁，d₂與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
拓廣探索：
（3）如圖③，直線(xiàn)x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線(xiàn)y=x²-4x和y=x²-3x于點(diǎn)P，M，N，設(shè)A，B為拋物線(xiàn)y=x²-4x，y=x²-3x與x軸的另一交點(diǎn)．
①當(dāng)m為何值時(shí)，在線(xiàn)段OP，PM，PN，MN的四個(gè)長(zhǎng)度中，其中有三個(gè)能?chē)�成等邊三角形�?br />②設(shè)兩條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)分別為K、Q，試用含有m的代數(shù)式表示以K、Q、A、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積S．

Answer 1

分析 （1）把當(dāng)x=m分別代入反比例函數(shù)的解析式，求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)和N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，即可求出結(jié)果；
（2）當(dāng)x=m時(shí)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）①由函數(shù)的解析式分別求出PM，PN，MN的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等即可求出m的值；
②分兩種情況：a：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，過(guò)Q作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)PK于E；先求出直線(xiàn)PK的解析式，再求出E的坐標(biāo)，用梯形APEQ的面積減去△EQK的面積即為所求的面積S；b：當(dāng)m＞3時(shí)，過(guò)Q作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)AK于E，先求出直線(xiàn)AK的解析式，再求出E的坐標(biāo)，用梯形APQE的面積減去△EQK的面積即為所求的面積S．

解答 解：（1）當(dāng)x=m時(shí)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2}{m}$，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{m}$，
∴MN=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{MN}{PM}$=$\frac{\frac{1}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)x=m時(shí)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m，
∴MN=2m-m=m，
∴d₁=m，
當(dāng)x=m時(shí)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2}{m}$，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{m}$，
∴MN=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，
∴d₂=$\frac{1}{m}$；
（3）①OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=m，
由題意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5或m=3或m=4或m=2，
當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
∴m=2或5；
②分兩種情況：a：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，如圖1所示：
過(guò)Q作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)PK于E；
設(shè)直線(xiàn)PK的解析式為y=kx+b，
∵拋物線(xiàn)y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴Q（2，-4），
∵y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
把點(diǎn)K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），P（m，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\\{km+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{9}{4m-6}$，b=-$\frac{9m}{4m-6}$，
∴y=$\frac{9}{4m-6}$x-$\frac{9m}{4m-6}$，
當(dāng)y=-4時(shí)，$\frac{9}{4m-6}$x-$\frac{9m}{4m-6}$=-4，
解得：x=$\frac{24-7m}{9}$，
∴E（$\frac{24-7m}{9}$，-4），
∴EQ=2-$\frac{24-7m}{9}$=$\frac{7m-6}{9}$，
∴S_梯形APEQ=$\frac{1}{2}$（3-m+$\frac{7m-6}{9}$）×4=$\frac{42-9m}{9}$，
S_△EQK=$\frac{1}{2}$×$\frac{7m-6}{9}$（4-$\frac{9}{4}$）=$\frac{49m-42}{72}$，
∴以K、Q、A、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積S=S_梯形APEQ-S_△EQK 
=$\frac{42-9m}{9}$-$\frac{49m-42}{72}$=$\frac{42-9m}{8}$（m≠$\frac{6}{7}$）；
b：當(dāng)m＞3時(shí)，過(guò)Q作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)AK于E，如圖2所示：
∵拋物線(xiàn)y=x²-3x，當(dāng)y=0時(shí)，x=0或x=3，∴A（3，0），
設(shè)直線(xiàn)AK的解析式為y=kx+b
，把點(diǎn)A（3，0），K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=$-\frac{9}{2}$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{2}$，當(dāng)y=-4時(shí)，$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{2}$=-4，
解得：x=$\frac{1}{3}$，∴E（$\frac{1}{3}$，-4），
∴EQ=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴S_△EQK=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×（4-$\frac{9}{4}$）=$\frac{35}{24}$，
S_梯形APQE=$\frac{1}{2}$（m-3+$\frac{5}{3}$）×4=2m-$\frac{8}{3}$，
∴S=S_梯形APQE-S_△EQK=2m-$\frac{8}{3}$-$\frac{35}{24}$=$\frac{16m-33}{8}$；
綜上所述：當(dāng)0＜m＜3，且m≠$\frac{6}{7}$時(shí)，S=$\frac{42-9m}{8}$；當(dāng)m＞3時(shí)，S=$\frac{16m-33}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的各種性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和梯形的面積公式、三角形的面積公式等知識(shí)；題目的綜合性較強(qiáng)，難度很大，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高，特別是（3）的②中，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)用函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出面積．