Question

7．關(guān)于x的函數(shù)y=2mx²+（1-m）x-1-m（m是實數(shù)），探索發(fā)現(xiàn)了以下四條結(jié)論：
①函數(shù)圖象與坐標軸總有三個不同的交點；
②當m=-3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
③當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$；
④當m≠0時，函數(shù)圖象總經(jīng)過兩個定點．
請你判斷四條結(jié)論的真假，并說明理由．

Answer 1

分析 ①通過反例即可判斷；
②把m=-3代入，然后化成頂點式即可判斷；
③求得與x軸的交點，進而求得|x₁-x₂|的值，即可判斷；
④由y=2mx²+（1-m）x-1-m=（2x²-x-1）m+x-1，可知當2x²-x-1=0時，y的值與m無關(guān)，此時x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$，當x₁=1，y=0；當x₂=-$\frac{1}{2}$時，y₂=-$\frac{3}{2}$，從而判定函數(shù)圖象總經(jīng)過兩個定點（1，0），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

解答 解：①假命題；                    
當m=0時，y=x-1為一次函數(shù)
與坐標軸只有兩個交點，
②真命題；                            
當m=-3時，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴頂點坐標是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$），
③真命題；                                             
當m＞0時，由y=0得：△=（1-m）²-4×2m（-1-m）=（3m+1）²，
∴x=$\frac{m-1±（3m+1）}{4m}$，
∴x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$；
④真命題；                                 
當m≠0時，y=2mx²+（1-m）x-1-m=（2x²-x-1）m+x-1，
當2x²-x-1=0時，y的值與m無關(guān)
此時x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$，
當x₁=1，y=0；當x₂=-$\frac{1}{2}$時，y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)圖象總經(jīng)過兩個定點（1，0），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與二次函數(shù)的交點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．