Question

5．如圖，已知點A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．
（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A、C和點D（2，$-\frac{1}{3}$）三點，求這個二次函數(shù)的解析式．
（2）求∠ACB的正切值．
（3）若點E在線段BC上，且△ABE與△ABC相似，求出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線y=ax²+bx+1，將點A、D的坐標(biāo)代入，求出a、b的值，可得出二次函數(shù)的解析式；
（2）過點B作CA垂線交CA的延長線于點M，易知Rt△AMB為等腰直角三角形，然后過點M作MN⊥x軸，垂足為N，可得OA=AN=NB=1，繼而證得Rt△OAC≌Rt△NAM，求出∠ACB的正切值；
（3）要使△ABE與△ABC相似，需AB²=BE•BC，然后代入求出BE的長度，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)三角函數(shù)的知識求出EF、OF的長度，繼而求出OF的長度，得出點E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）點C的坐標(biāo)為（0，1），設(shè)拋物線y=ax²+bx+1，
將點A、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{4a+2b+1=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{4}{3}.\end{array}\right.$，
故所求解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+1；

（2）過點B作CA垂線交CA的延長線于點M，如圖1所示，
易知Rt△AMB為等腰直角三角形，
故有AM=MB，
過點M作MN⊥x軸，垂足為N，則OA=AN=NB=1，
則Rt△OAC≌Rt△NAM，故有CA=AM=MB，
故tan∠ACB=$\frac{MB}{CM}$=$\frac{1}{2}$；

（3）∵點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．
若△ABE∽△ABC，則AB²=BE•BC，
∵AB=2，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
過點E作EF⊥x軸，垂足為F，如右圖2所示，
則EF=BE•sin∠EBF=$\frac{4}{\sqrt{10}}$×$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{5}$，
BF=BE•cos∠EBF=$\frac{4}{\sqrt{10}}$×$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$，
OF=OB-BF=$\frac{9}{5}$，
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}，\frac{2}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的知識等知識點，綜合性較強，難度適中．