Question

17．閱讀下面材料：
小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點(diǎn)P，求$\frac{AP}{PD}$的值．
小昊發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長線于點(diǎn)F，通過構(gòu)造△AEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．
請回答：$\frac{AP}{PD}$的值為$\frac{3}{2}$．
參考小昊思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點(diǎn)P，DC：BC：AC=1：2：3．
（1）求$\frac{AP}{PD}$的值；
（2）若CD=2，則BP=6．

Answer 1

分析 易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．設(shè)CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
解決問題：（1）過點(diǎn)A作AF∥DB，交BE的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易證△AEF≌△CEB，則有EF=BE，AF=BC=2k．易證△AFP∽△DBP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
（2）當(dāng)CD=2時，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據(jù)$\frac{FP}{BP}$的值求出$\frac{BF}{BP}$，就可求出BP的值．

解答 解：$\frac{AP}{PD}$的值為$\frac{3}{2}$．
提示：易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．
設(shè)CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
即可得到$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AF}{BD}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$；

解決問題：
（1）過點(diǎn)A作AF∥DB，交BE的延長線于點(diǎn)F，如圖，
設(shè)DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中點(diǎn)，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠1}\\{∠2=∠3}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FP}{BP}$=$\frac{AF}{DB}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AP}{PD}$的值為$\frac{2}{3}$；

（2）當(dāng)CD=2時，BC=4，AC=6，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC=3，EB=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴EF=BE=5，BF=10．
∵$\frac{FP}{BP}$=$\frac{2}{3}$（已證），
∴$\frac{BF}{BP}$=$\frac{5}{3}$，
∴BP=$\frac{3}{5}$BF=$\frac{3}{5}$×10=6．
故答案為6．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，結(jié)合中點(diǎn)，作平行線構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．