Question

16．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結(jié)EF交CD于點G．若G是CD的中點，以下幾個結(jié)論：
①∠AEB=∠BEF；②△BEF是等腰三角形；③△DEG與△BEF相似；④四邊形ABCD的面積為56．
則以上正確的有（　�。�

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ①②
• D． ①②④

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為矩形，得到對邊平行且相等，由AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由BE的垂直平分線為HF，得到EF=BF，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠AEB=∠BEF，選項①正確；由EF=BF得到三角形BEF為等腰三角形，選項②正確；根據(jù)題意得到三角形BEF不為直角三角形，而三角形DEG為直角三角形，顯然不相似，選項③錯誤；由G為CD中點，得到一對邊相等，再由一對直角相等，對應(yīng)角相等，利用ASA得到三角形EDG與三角形CGF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到ED=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，在直角三角形DEG中，利用勾股定理表示出EG，進(jìn)而得到EF，由EF=BF列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BC的長，求出矩形ABCD面積，即可對于選項④做出判斷．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，
∴EF=BF，
∴∠BEF=∠EBF，
∴∠AEB=∠BEF，選項①正確；
∵EF=BF，
∴△BEF為等腰三角形，選項②正確；
由△DEF為直角三角形，△BEF不為直角三角形，得到兩個三角形不可能相似，選項③錯誤；
∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$×8=4，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCF=90°}\\{CG=DG}\\{∠DGE=∠CGF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
設(shè)DE=x，
則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=$\sqrt{D{E}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∴EF=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
解得：x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7，
則矩形ABCD面積為56，選項④正確．
故選D．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．