Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AD=32cm，AB=24cm，點F從點B出發(fā)沿B→C方向運動，點E從點D出發(fā)沿D→A方向運動，點E和點F的速度都為3cm/s，則當(dāng)點E運動$\frac{7}{3}$s后，線段EF剛好被AC垂直平分．

Answer 1

分析 如圖，連接AC交EF于O，連接AF、EC．首先證明四邊形AECF是平行四邊形，推出OA=OC，OE=OF，在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=40，推出OA=OC=20，
當(dāng)△AOE∽△ADC時，∠AOE=∠ADC=90°，此時EF垂直平分線段AC，推出$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AO}{AD}$，可得$\frac{AE}{40}$=$\frac{20}{32}$，推出AE=25，由此求出DE即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC交EF于O，連接AF、EC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD=24，
∵DE=BF，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴OA=OC，OE=OF，
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=40，
∴OA=OC=20，
當(dāng)△AOE∽△ADC時，∠AOE=∠ADC=90°，此時EF垂直平分線段AC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{AE}{40}$=$\frac{20}{32}$，
∴AE=25，
∴DE=AD-AE=32-25=7，
∴t=$\frac{7}{3}$s，
故答案為$\frac{7}{3}$s．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．