Question

6．如圖1，在直角三角形ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B，CE⊥DE，垂足為E，DE與AC相交于點F．
（1）當$\frac{AC}{AB}=1$時（如圖2），作DG∥BA，交AC于H，交CE延長線于點G．
①∠ECF=22.5°；
②通過證明△CED≌△GED與△CGH≌△DFH，可得$\frac{CE}{FD}=\frac{1}{2}$，請說明這一推理過程．
（2）當$\frac{AC}{AB}=3$時（如圖3），證明：$\frac{CE}{FD}=\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，根據(jù)角平分線的定義得到∠GDE=22.5°，根據(jù)同角的余角相等得到答案；
②證明△CED≌△GED和△CGH≌△DFH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)AC=3AB，結(jié)合②的結(jié)論，得到答案．

解答 解：（1）①∵∠A=90°，$\frac{AC}{AB}=1$，
∴∠B=45°，
∵DG∥BA，∴∠GDC=∠B=45°，
∵∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B=22.5°，∴∠GDE=22.5°，
∵∠DHF=∠DEC=90°，
∴∠ECF=22.5；
②證明如下：
∵DG∥AB，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EDC=∠GDE，又∵CE⊥DE，
∴∠CED=∠GED=90°，
在△CED和△GED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠CDE}\\{∠DEG=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△GED，
∴CE=GE，即$CE=\frac{1}{2}CG$，
∵DG∥AB，∠A=90°，AB=AC，
∴∠CHG=∠DHF=90°，CH=DH．
又∵∠GCH=∠FDH，
∴△CGH≌△DFH，
∴CG=FD．
∴$CE=\frac{1}{2}FD$；
（2）作DG∥BA，交AC于H，交CE延長線于點G，
同（1）可證$CE=\frac{1}{2}CG$．
∵DG∥AB，
∴∠DHF=∠CHG=90°，又∵∠GCH=∠FDH，
∴△CGH∽△DFH，
∴$\frac{CG}{FD}=\frac{CH}{DH}$
∵DG∥AB，
∴△CHD∽△CAB，
∴$\frac{CH}{DH}=\frac{AC}{AB}=3$，
∴$\frac{CG}{FD}=3$，∴$\frac{2CE}{FD}$=3，即$\frac{CE}{FD}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．