Question

15．如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．
（1）求證：AC=AD；
（2）點G為線段CD延長線上一點，將GC繞著點G逆時針旋轉(zhuǎn)β，與射線BD交于點E．
①如圖1，若β=α，DG=2AD，試判斷BC與EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②若β=2α，DG=kAD，請直接寫出$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}$的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AD即可；
（2）利用已知得出∠GDE=∠BDC=90°-α，進(jìn)而得出∠DEG=∠AHB=90°，則△DEG∽△AHB，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案；
（3）利用（2）得出∠AHB=∠DFG=90°，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答 解：如圖1（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD．

（2）如圖2證明：過A作AH⊥BC于點H．
由題意可得：∠AHB=90°．
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴∠BAC=180°-2α．
由（1）得AB=AC=AD．
∴點B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∴∠GDE=∠BDC=90°-α，
∵∠G=β=α=∠ABC，
∴∠G+∠GDE=90°．
∴∠DEG=∠AHB=90°．
∴△DEG∽△AHB．
∵GD=2AD，AB=AD，
∴DG=2AB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{GE}{BH}$=2，
∵BC=2BH，
∴BC=GE；

（3）如圖3，$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}{=k}^{2}$．
理由：解：過A作AH⊥BC于點H，作∠DGE的平 分線GF，
∵由①得，∠DGF+∠GDE=90°，
∵∠AHB=∠DFG=90°．
又∵∠ABC=∠DGF=α，
∴△DFG∽△AHB．
又∵AB=AD，
$\frac{{S}_{△DFG}}{{S}_{△AHB}}=\frac{{GD}^{2}}{{AB}^{2}}=\frac{{GD}^{2}}{{AD}^{2}}{=k}^{2}$，
∵$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{ABC}}=\frac{{2S}_{△DFG}}{{2S}_{△AHB}}{=k}^{2}$，
又∵S_△ABC=S_△BCD，
∴$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}{=k}^{2}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，得出△ABH∽△DGF是解題關(guān)鍵．