Question

1．矩形ABCD內接于⊙O，將△ADC沿AC翻折，點D落在⊙O上點E處，連結BE，
（1）如圖1，判斷四邊形AEBC的形狀，并加以證明；
（2）如圖2，PA是⊙O的切線并交CB的延長線于點P，切點是A．若⊙O的直徑為5，$\frac{AB}{PB}=\frac{3}{4}$，動點M從點P出發(fā)，以2cm/s的速度沿著射線PC的方向運動，以點M為圓心，PM長為半徑作圓，設點M運動的時間為ts（t＞0）．
①當運動時間t為何值時，⊙M與直線EB相切；
②根據(jù)⊙M與線段AC公共點的個數(shù)，直接寫出相應的運動時間t的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由BC=AD=AE可迅速得出結論；
（2）①設切點為G，利用相切的性質得出MG與BE垂直，再利用相似關系表示出BM，利用BM+PM=PC建立方程，解之即可；
②分別算出兩個臨界點的時間：圓M剛好與AC相切；M點剛好在PC中點處．過了PC的中點之后，A、C都不在圓M上了．

解答 解：（1）∵AE=AD=BC，
∴弧AE=弧BC
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
∴AEBC是等腰梯形；
（2）①設直BE于AB交于點F，⊙M切BE于點G，連接MG，則MG⊥BE，如圖2，

∵AP是切線，AC是直徑，
∴AC⊥AP，
∴△APB∽△CPA，
∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{PB}=\frac{3}{4}$，
∵AC=5，
∴AP=$\frac{20}{3}$，
∴AB=4，PB=$\frac{16}{3}$，BC=3，
又∵△MGB∽△ABC，
∴$MG=\frac{4}{5}MB$，
∵MG=MP=2t，
∴MB=$\frac{16}{3}-2t$，
∴$2t=\frac{4}{5}×（\frac{16}{3}-2t）$，
解得：t=$\frac{32}{27}$；
即：t=$\frac{32}{27}$時，⊙M與直線EB相切；
②當⊙M與AC相切于點H時，如圖3，

PC=PB+BC=$\frac{25}{3}$，MH=PM=2t，CM=$\frac{25}{3}-2t$，
∵$MH=\frac{4}{5}CM$，
∴$2t=\frac{4}{5}×（\frac{25}{3}-2t）$，
解得：t=$\frac{50}{27}$，
當M為PC中點時，A、C同時在⊙M上，此時，t=$\frac{25}{3}÷2÷2$=$\frac{25}{12}$，
綜上所述：
當0＜t＜$\frac{50}{27}$時，⊙M與PC沒有公共點；
當t=$\frac{50}{27}$時，⊙M與PC有一個公共點；
當$\frac{50}{27}$＜t≤$\frac{25}{12}$時，⊙M與PC有兩個公共點；
當t＞$\frac{25}{12}$時，⊙M與PC沒有公共點．

點評 本題考查了翻折的性質、矩形的性質、圓的性質、切線的性質、相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線定理等多個知識點，綜合性較強，有一定難度．熟悉圓的基本性質、清楚動點運動過程中的特殊位置、熟練運用相似三角形的線段比例關系是解答本題的關鍵．