Question

14．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)為y=kx+b（b＞0），直線x=1與x軸交于點B，與直線y=kx+b交于點A，直線x=3與x軸交于點C，與直線y=kx+b交于點D．點A，D都在第一象限，直線y=kx+b與x軸交于點E，與y軸交于點F
（1）當$\frac{ED}{EA}$=$\frac{3}{4}$且△OFE的面積等于$\frac{27}{2}$時，求這個一次函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的條件下，根據(jù)函數(shù)圖象，試求不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意得到E（9，0），再根據(jù)△OFE的面積等于$\frac{27}{2}$，即可得到b的值，再根據(jù)一次函數(shù)y=kx+3經(jīng)過點E（9，0），可得k的值；
（2）先求得兩函數(shù)圖象的交點坐標，再根據(jù)不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的幾何意義，即可得到結論．

解答 解：（1）依題意得，$\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{BE}=\frac{3}{4}$，
∵BC=2，BE=EC+BC，
∴$\frac{BE-2}{BE}=\frac{3}{4}$，
∴BE=8，
∴OE=9，即E（9，0），
∵點F的坐標為（0，b），
∴S_△OFE=$\frac{1}{2}$×9×b=$\frac{27}{2}$，
解得b=3，
由一次函數(shù)y=kx+3經(jīng)過點E（9，0），可得
k=-$\frac{1}{3}$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（2）令-$\frac{1}{3x}$=-$\frac{1}{3}$x+3，
解得x₁=$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$，x₂=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的交點坐標的橫坐標是$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$或$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集為$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$＜x＜0或x＞$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積公式的應用，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．