Question

4．已知，如圖，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF．
（1）求證：∠A+2∠EDF=180°；
（2）作∠C的平分線交DF于點(diǎn)G，∠BED=2∠DFC，DG=3，BC=16，求BE長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先證明△BED≌△CDF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角形內(nèi)角和定理證明∠C=∠EDF，據(jù)此即可證得；
（2）在FC上截取CM=CD，CG是∠C的平分線，即可證明△DCG≌△MCG，證明GM=FM，然后根據(jù)BC=BD+CD列方程求解．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$，
在△BED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠B=∠C}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CDF，
∴∠DFC=∠BDE，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠FDC）=180°-（∠DFC+∠FDC），
又∵△CDF中，∠DFC+∠FDC=180°-∠C，
∴∠EDF=180°-（180°-∠C）=∠C．
∵∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$，
∴∠EDF=$\frac{180°-∠A}{2}$，
∴∠A+2∠EDF=180°；
（2）解：∵△BED≌△CDF，
∴∠BDE=∠DFC，∠BED=∠FDC，
∵∠BED=2∠DFC，
設(shè)∠BED=∠DFC=x°，
∴∠BED=2x°=∠FDC，
在FC上截取CM=CD，CG是∠C的平分線，
∴∠DCG=∠GCM，
在△DCG和△MCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{∠DCG=∠MCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△MCG，
∴DG=DM=3，DC=CM，∠DGC=∠GMC=2x，
∴∠FGM=∠GMC-∠GFM=2x-x=x，
∴∠FGM=∠FGM，
∴GM=FM=3，
設(shè)CD=EB=y，則FC=3+y=BD，BC=BD+CD=3+y+y，
∴16=3+2y，
則y=$\frac{13}{2}$，即BE=$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．