Question

11．如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動點(diǎn)P落在某個部分時，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAV、∠APB、∠PBD三個角．
（1）當(dāng)動點(diǎn)P落在第①部分時，如圖1，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動點(diǎn)P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？在圖2中畫出圖形，若成立，寫出推理過程，若不成立，直線寫出這三個角之間的關(guān)系；
（3）當(dāng)動點(diǎn)P落在第③部分時，延長BA，點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)和右側(cè)時，分別探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間關(guān)系，在圖3中畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）延長AP交BD于M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）過P作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB，②當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA上時，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），③當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時，結(jié)論是：∠PAC=∠APB+∠PBD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）延長AP交BD于M，如圖1，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如圖2，

理由是：過P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
∴∠APB=360°-∠PAC-∠PBD，
∵∠APB≠180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）①當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時，如圖3，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
②當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA上時，如圖4，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PBD，
∵∠APB=0°，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB．
③當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時，如圖5，結(jié)論是：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PAC=∠APB+∠PMC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

點(diǎn)評 考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，用了分類討論思想，考查對材料的分析研究能力和對平行線及角平分線性質(zhì)的掌握情況．