Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，ED是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，AE⊥DE，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為E，連接AD．
（1）求證：AD為∠CAB的平分線；
（2）連接BC，交AD于F，若AB=10，AE=8，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD交BC于M，由切線的性質(zhì)和垂直的定義得到OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠3，由同圓的半徑相等，得到∠1=∠3，等量代換得到結(jié)論；
（2）連接BD，通過三角形相似得到比例式求得AD，DE，根據(jù)垂徑定理得到OD垂直平分BC，根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求出CM，BC，AC，再根據(jù)三角形相似列比例式求解．

解答 （1）證明：如圖1連接OD交BC于M，
∵ED是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，∵AE⊥DE，
∴OD∥AE，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD為∠CAB的平分線；

（2）解：如圖2，連接BD，由（1）證得∠1=∠2，
∵∠AED=∠ADB=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=$\sqrt{AE•AB}$=4$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=4，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴四邊形CMDE是矩形，
∴CM=DE=4，
∴BC=2CM=2DE=8，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{-BC}^{2}}$=6，
∵FC∥DE，
∴△ACF∽△AED，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CF}{DE}$，
∴CF=$\frac{6×4}{8}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．