Question

3．?dāng)?shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．
探究一：求不等式|x-1|＜2的解集
（1）探究|x-1|的幾何意義
如圖①，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x-1，由絕對(duì)值的定義可知，點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為|x-1|，可記為A′O=|x-1|．將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1．因?yàn)锳B=A′O，所以AB=|x-1|．因此，|x-1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB．
（2）求方程|x-1|=2的解
因?yàn)閿?shù)軸上3和-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2，所以方程的解為3，-1．
（3）求不等式|x-1|＜2的解集
因?yàn)閨x-1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍．
請(qǐng)?jiān)趫D②的數(shù)軸上表示|x-1|＜2的解集，并寫出這個(gè)解集．
探究二：探究$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的幾何意義
（1）探究$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義
如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，則MO=$\sqrt{O{P}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{|x{|}^{2}+|y{|}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，因此，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的幾何意義可以理解為點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)O（0，0）之間的距離MO．
（2）探究$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$的幾何意義
如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x-1，y-5），由探究二（1）可知，A′O=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$，將線段A′O先向右平移1個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），因?yàn)锳B=A′O，所以AB=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$，因此$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-5）^{2}}$的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離AB．
（3）探究$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的幾何意義
請(qǐng)仿照探究二（2）的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程．
（4）$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的幾何意義可以理解為：點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離．
拓展應(yīng)用：
（1）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)E（2，-1）的距離和點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)F（-1，-5）（填寫坐標(biāo)）的距離之和．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的最小值為5（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 探究一（3）由于|x-1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍，從而畫出數(shù)軸即可．
探究二（3）由于$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的幾何意義是：點(diǎn)A（x，y）與B（-3，4）之間的距離，所以構(gòu)造直角三角形利用勾股定理即可得出答案．
（4）根據(jù)前面的探究可知$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的幾何意義是表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；
拓展應(yīng)用
（1）根據(jù)探究二（4）可知點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出答案．

解答 解：探究一：（3）如圖所示，
∴|x-1|＜2的解集是-1＜x＜3，

探究二：（3）如圖⑤，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x+3，y-4），由探究二（1）可知，A′O=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$，將線段A′O先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4），因?yàn)锳B=A′O，所以AB=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$，因此$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-4）^{2}}$的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（-3，4）之間的距離AB．


（4）根據(jù)前面的探究可知$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$的幾何意義是表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；

拓展應(yīng)用：（1）由探究二（4）可知$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$表示點(diǎn)（x，y）與（-1，-5）之間的距離，
故F（-1，-5），
（2）由（1）可知：$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$表示點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)E（2，-1）的距離和點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)F（-1，-5）的距離之和，
當(dāng)A（x，y）位于直線EF外時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)組成△AEF，
∴由三角形三邊關(guān)系可知：EF＜AF+AE，
當(dāng)點(diǎn)A位置線段EF之間時(shí)，此時(shí)EF=AF+AE，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+5）^{2}}$的最小值為EF的距離，
∴EF=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-1+5）^{2}}$=5
故答案為：探究二（4）點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；
拓展應(yīng)用（1）（-1，-5）；（2）5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的閱讀理解能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，仿照題意求出答案，本題考查學(xué)生綜合能力，屬于中等題型．