Question

15．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，將劣弧$\widehat{AC}$沿弦AC翻折與AB的交點恰好是圓心O，連接BC，作半徑OD⊥AC．求證：四邊形BCDO是菱形．

Answer 1

分析 先證明四邊形OADC是菱形，得OA∥DC，AO=DC，根據(jù)同圓的半徑相等得：AO=OB，所以O(shè)B=DC，OB∥DC，且OB=OD，所以四邊形BCDO是菱形．

解答 證明：連接AD，
∵OD⊥AC，
∴AE=EC，
由翻折得：AC是OD的垂直平分線，
∴OE=DE，
∵OA=OC，
∴四邊形OADC是菱形，
∴OA∥DC，AO=DC，
∵AO=OB，
∴OB=DC，OB∥DC，
∴四邊形BCDO是平行四邊形，
∵OB=OD，
∴四邊形BCDO是菱形．

點評 本題是圓與四邊形的綜合題，難度不大，考查了平行四邊形、菱形、垂徑定理和翻折變換的性質(zhì)，明確翻折前后重合的點是對稱點，對稱點的連線被折痕垂直平分，熟練掌握菱形的判定：①四邊相等的四邊形是菱形，②有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．