Question

17．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB，垂足為點E，且CE交對角線BD于點F．若∠A=120°，四邊形AEFD的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，求EF的值．

Answer 1

分析 首先利用已知條件求出∠ABC=2∠ABD=60°，進而可得到∠ECB=30°，設EF=x，利用分別x表示出△ABD和△EFB的面積，再根據S_{四邊形AEFD}=S_△ABD-S_△EFB=$\frac{AB×CE}{2}-\frac{EF×EB}{2}$，即$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}x•3x}{2}$-$\frac{x•\sqrt{3}x}{2}$建立方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=AD，
∴∠ABD=30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ECB=30°，
設EF=x，
在Rt△EFB中，∠ABD=30°，
∴2EF=BF，
則BE²=（2x）²-x²=3 x²
則BE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△CEB中，∠ECB=30°，
∴2EB=BC，
∵BC=AB，
∴E點為AB中點，BC=AB=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形AEFD的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴S_{四邊形AEFD}=S_△ABD-S_△EFB=$\frac{AB×CE}{2}-\frac{EF×EB}{2}$，
即$\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}x•3x}{2}$-$\frac{x•\sqrt{3}x}{2}$，
∴EF=x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質、勾股定理的運用、一元二次方程的運用、三角形面積公式以及直角三角形30°角的性質，解題的關鍵是利用勾股定理建立方程，利用方程思想解決幾何圖形問題，題目的綜合性較強，計算量較大，是一道不錯的中考題．