Question

12．平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中如圖放置，A、B、C三點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存一點(diǎn)M，使得以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，試求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD交AC于點(diǎn)P，求PE：PC的值．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB的長(zhǎng)，即可求出OC，即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)建立方程即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）先判斷出△POC∽△PDA即可求出PC，再求出PE即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）解x²-7x+12=0，得，x=4或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=6-3=3，
∴C（3，0），D（6，4）；

（2）存在，分三種情況討論：
①以點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí)，AB=AM，
∵在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵點(diǎn)M在y軸上，
∴AM=5，
∴M（0，9）或（0，-1），
②以點(diǎn)B為頂點(diǎn)時(shí)，BM=AB=5，
∴M（0，-4），
③如圖，以點(diǎn)M為頂點(diǎn)時(shí)，作AB的垂直平分線，分別交y軸，AB于點(diǎn)M，F(xiàn)，
∵∠AFM=90°，
∴△AFM∽△AOB，
∴$\frac{AF}{AO}=\frac{AM}{AB}$，
∴AM=$\frac{25}{8}$，
∴M（0，$\frac{7}{8}$），
即：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）或（0，$\frac{7}{8}$）．
（3）在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，
∴AC=5，
∵AD∥OC，
∴△POC∽△PDA，
∴$\frac{PC}{AP}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{5}{3}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴PE=$\frac{5}{6}$，
∴PE：PC=$\frac{5}{6}$：$\frac{5}{3}$=1：2．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想思考問(wèn)題．