Question

12．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，E是AB延長線上一點，且CE⊥AE，CF⊥AD．
（1）求證：BE=DF；
（2）試探究線段AB、AD、AF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的性質可得到CE=CF，根據余角的性質可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，從而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF即可解決問題；
（2）已知EC=CF，AC=AC，則根據HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后證得AB+AD=2AF即可．

解答 （1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠EBC=∠D
∵∠CEB=∠CFD=90°
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF．

（2）解：結論：AB+AF=2AF，
理由：∵CE=CF，AC=AC
∴△ACE≌△ACF
∴AE=AF，∵BE=DF．
∴AB+AD=AE-BE+AF+DF=2AF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質；證明線段相等往往通過三角形全等來證明，還要運用相等的線段進行轉移，這是很重要的方法，注意掌握．