Question

20．（1）已知：如圖，點C在線段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度．
（2）在（1）中如果AC=acm，BC=bcm，其他條件不變，你能猜出MN的長度嗎？請用一個代數(shù)式表述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，并說明理由
（3）如果將（1）題的敘述改為：“已知線段AC=6cm，BC=14cm，點C在直線AB上，點M、N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度．”結(jié)果會有變化嗎？如果有，求出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點M、N分別是AC、BC的中點，先求出CM、CN的長度，則MN=CM+CN；
（2）根據(jù)點M、N分別是AC、BC的中點，CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，所以MN=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{a+b}{2}$；
（3）長度會發(fā)生變化，分點C在線段AB上、點B在A、C之間和點A在B、C之間三種情況討論．

解答 解：（1）∵AC=6cm，點M是AC的中點，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=3cm，
∵BC=14cm，點N是BC的中點，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=7cm，
∴MN=CM+CN=10cm，
∴線段MN的長度為10cm；

（2）∵點M、N分別是AC、BC的中點，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b．
∴MN=MC+NC=$\frac{1}{2}$a$+\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b）；
（3）線段MN的長度會變化，
當點C在線段AB上時，由（1）知MN=CM+CN=10cm．
當點C在線段AB的延長線時，如圖：

則AC=6＜BC=14，
這種情況不存在；
當點C在線段BA的延長線時，如圖：

則AC=6＜BC=14，
同理可求：CM=$\frac{1}{2}$AC=3
CN=$\frac{1}{2}$BC=7
∴MN=CN-CM=4，
綜上所述，線段MN的長度會變化．

點評 本題主要考查的是線段中點的定義、兩點間的距離，明確線段中點的定義是解題的關(guān)鍵．