Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（4，1），C為x軸上一點(diǎn)，且AC平分∠OAB．
（1）求證：∠OAC=∠OCA；
（2）如圖2，若分別作∠AOC的三等分線及∠OCA的外角的三等分線交于P點(diǎn)，及滿足∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE，求∠P的大��；
（3）如圖3，在（2）中，若射線OP、CP滿足∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC，∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE，猜想∠OPC的大小，并證明你的結(jié)論（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB坐標(biāo)可以求得∠OAB大小，根據(jù)角平分線性質(zhì)可求得∠OAC大小，即可解題；
（2）根據(jù)題干中給出的∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC、∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可解題；
（3）解法和（2）相同，根據(jù)題干中給出的∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC、∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可解題．

解答 解：（1）∵A（0，1），B（4，1），
∴AB∥CO，
∴∠OAB=90°，
∵AC平分∠OAB．
∴∠OAC=45°，
∴∠OCA=90°-45°=45°，
∴∠OAC=∠OCA；
（2）∵∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC，∴∠POC=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∵∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE，∴∠PCE=$\frac{1}{3}$（180°-45°）=45°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=15°；
（3）∵∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC，∴∠POC=$\frac{1}{n}$×90°=$\frac{90}{n}$°，
∵∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE，∴∠PCE=$\frac{1}{n}$（180°-45°）=$\frac{135}{n}$°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=$\frac{45}{n}$°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和的性質(zhì)，本題中求∠PCE和∠POC的大小是解題的關(guān)鍵．