Question

2．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD中CD邊上的一點(diǎn)，AB=3，AD=4，以AE為直徑的⊙O恰好與BC邊相切，則⊙O的半徑為$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 作OH⊥BC于H，HO交AD于G，如圖，利用切線的性質(zhì)得OH為⊙O的半徑，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=OA=OE=r，再證明OG⊥AD，則利用垂徑定理得到AG=DG=$\frac{1}{2}$AD=2，易得四邊形ABHG為矩形，則OG=3-r，然后在Rt△AOG中利用勾股定理得到（3-r）²+2²=r²，然后解方程即可．

解答 解：作OH⊥BC于H，HO交AD于G，如圖，
∵以AE為直徑的⊙O恰好與BC邊相切，
∴OH為⊙O的半徑，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=OA=OE=r，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴OG⊥AD，
∴AG=DG=$\frac{1}{2}$AD=2，
易得四邊形ABHG為矩形，
∴GH=AB=3，
∴OG=3-r，
在Rt△AOG中，∵OG²+AG²=OA²，
∴（3-r）²+2²=r²，解得r=$\frac{13}{6}$，
即⊙O的半徑為$\frac{13}{6}$．
故答案為$\frac{13}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了矩形的性質(zhì)．