Question

13．圖1、圖2為同一長方體房間的示意圖，圖3為該長方體的表面展開圖．
（1）蜘蛛在頂點(diǎn)A′處．
①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線．
②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近．
（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線，若PQ與⊙M相切，試求PQ長度的范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線；
②Ⅰ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①，運(yùn)用勾股定理求出AC長；Ⅱ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②，運(yùn)用勾股定理求出A′C長，然后將兩個(gè)長度進(jìn)行比較，就可解決問題；
（2）過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．由⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根據(jù)勾股定理可得PQ=$\sqrt{M{P}^{2}-M{Q}^{2}}$=$\sqrt{M{P}^{2}-100}$．要求PQ的取值范圍，只需先求出MP的取值范圍，就可解決問題．

解答 解：（1）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：
線段A′B為最近路線，如圖1所示．

②Ⅰ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，
∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，
∴AC=$\sqrt{4{0}^{2}+6{0}^{2}}$=$\sqrt{5200}$=20$\sqrt{13}$．
Ⅱ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，
∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，
∴A′C=$\sqrt{7{0}^{2}+3{0}^{2}}$=$\sqrt{5800}$=10$\sqrt{58}$．
∵$\sqrt{5200}$＜$\sqrt{5800}$，
∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近；

（2）過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′=60dm，
∴MH=60-10=50，HB=15，AH=40-15=25，
根據(jù)勾股定理可得AM=$\sqrt{A{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}+5{0}^{2}}$=$\sqrt{3125}$，
MB=$\sqrt{B{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+5{0}^{2}}$=$\sqrt{2725}$，
∴50≤MP≤$\sqrt{3125}$．
∵⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q，
∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{M{P}^{2}-M{Q}^{2}}$=$\sqrt{M{P}^{2}-100}$．
當(dāng)MP=50時(shí)，PQ=$\sqrt{2400}$=20$\sqrt{6}$；
當(dāng)MP=$\sqrt{3125}$時(shí)，PQ=$\sqrt{3025}$=55．
∴PQ長度的范圍是20$\sqrt{6}$dm≤PQ≤55dm．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線之間垂線段最短、切線的性質(zhì)、長方體的展開圖、勾股定理等知識(shí)，把空間圖形的最短距離問題轉(zhuǎn)化為到同一平面內(nèi)最短距離問題是解決（1）②小題的關(guān)鍵，根據(jù)PQ=$\sqrt{M{P}^{2}-M{Q}^{2}}$把求PQ的取值范圍轉(zhuǎn)化為求MP的取值范圍是解決第（2）小題的關(guān)鍵．