Question

12．如圖1，矩形ABCD中，AB=6，∠DBC=30°，DM平分∠BDC交BC于M，△EFG中，∠F=90°，GF=$\sqrt{3}$，∠E=30°，點(diǎn)F、G、B、C共線，且G、B重合，△EFG沿折線B-M-D方向以每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位長度平移，得到△E₁F₁G₁，平移過程中，點(diǎn)G₁始終在折線B-M-D上，△E₁F₁G₁與△DBM無重疊時(shí)，△E₁F₁G₁停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△E₁F₁G₁與△DBM重疊部分面積為S，平移時(shí)間為t，
（1）當(dāng)△E₁F₁G₁的頂點(diǎn)G₁恰好在BD上時(shí)，t=4秒；
（2）直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，及自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，△E₁F₁G₁平移到G₁與M重合時(shí)，將△E₁F₁G₁繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°）得到△E₂F₂G₁，點(diǎn)E₁、F₁分別對(duì)應(yīng)E₂、F₂，設(shè)直線F₂E₂與直線DM交于P，與直線DC交于Q，是否存在這樣的α，使△DPQ為直角三角形？若存在，求α的度數(shù)和DQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC交BD于點(diǎn)O，作OH⊥BC于點(diǎn)H，當(dāng)△E₁F₁G₁的頂點(diǎn)E₁恰好在BD上時(shí)，點(diǎn)E平移到點(diǎn)O處．由此即可解決問題．
（2）分三種情形討論①如圖2中，當(dāng)0＜t≤4時(shí)，重疊部分是四邊形NF₁GH，根據(jù)S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$計(jì)算．②如圖3中，當(dāng)4＜t≤7時(shí)，重疊部分是四邊形GHNF₁，
根據(jù)S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$計(jì)算．③如圖4中，當(dāng)7＜t≤8時(shí)，重疊部分是△GHN．
（3）存在．①如圖5中，當(dāng)∠DQP=90°時(shí)，此時(shí)只要證明四邊形MCQF₂是矩形即可．②如圖6中，當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F₂重合，點(diǎn)E、Q、C重合，此時(shí)α=120°，DQ=CD=6．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC交BD于點(diǎn)O，作OH⊥BC于點(diǎn)H．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BO=OD，
∴BH=HC，
∴OH=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△DBC中，∵CD=6，∠DBC=30°，
∴BC=6$\sqrt{3}$，BD=12，BH=HC=3$\sqrt{3}$
∵在△EFG中，∠F=90°，GF=$\sqrt{3}$，∠E=30°，
∴EF=3，EB=2$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)△E₁F₁G₁的頂點(diǎn)E₁恰好在BD上時(shí)，點(diǎn)E平移到點(diǎn)O處．
此時(shí)t=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4，
∴t=4時(shí)，△E₁F₁G₁的頂點(diǎn)E₁恰好在BD上，
故答案為4．

（2）在Rt△DCM中，∵∠C=90°，CD=6，∠CDM=30°，
∴CM=2$\sqrt{3}$，DM=4$\sqrt{3}$，
∴BM=4$\sqrt{3}$．
①如圖2中，當(dāng)0＜t≤4時(shí)，重疊部分是四邊形NF₁GH，

S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）（2-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
②如圖3中，當(dāng)4＜t≤7時(shí)，重疊部分是四邊形GHNF₁，

S=S${\;}_{△G{E}_{1}{F}_{1}}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$•[2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）]•[2-$\frac{1}{2}$（8-t）]=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
③如圖4中，當(dāng)7＜t≤8時(shí)，重疊部分是△GHN，

S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$t²-6$\sqrt{3}$t+24$\sqrt{3}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{5}{2}\sqrt{3}（0＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\sqrt{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2}（4＜t≤7）}\\{\frac{3\sqrt{3}}{8}{t}^{2}-6\sqrt{3}t+24\sqrt{3}（7＜t≤8））}\end{array}\right.$．

（3）存在．
理由：①如圖5中，當(dāng)∠DQP=90°時(shí)，

∵∠QCM=∠CQF₂=∠QF₂M=90°，
∴四邊形MCQF₂是矩形，
∴CQ=MF₂=$\sqrt{3}$，∠F₂MC=90°
∴α=90°，DQ=CD-CQ=6=$\sqrt{3}$．
②如圖6中，當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F₂重合，點(diǎn)E、Q、C重合，此時(shí)α=120°，DQ=CD=6．

綜上所述，當(dāng)α=90°，DQ=6-$\sqrt{3}$或α=120°，DQ=6時(shí)，△DPQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)討論討論，確定分段函數(shù)的自變量的取值范圍是難點(diǎn)，學(xué)會(huì)畫好圖形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．