Question

18．△ABC為等邊三角形，點M是邊BC上一點，點N是邊CA上一點，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，NH⊥AM，垂足為H．
（1）求∠AQN的度數(shù)．
（2）若BQ=3，HQ=2，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，由SAS證明△ABM≌△BCN，則∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，所以∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
（2）在Rt△NHQ中，∠AQN=60°，HQ=2，可求出QN=4，所以AM=BN=BQ+NQ=7．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，
∵NH⊥AM，∠AQN=60°，HQ=2，
∴QN=4，
∵BQ=3，
∴AM=BN=BQ+NQ=7．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．利用性質(zhì)和判定，學(xué)會準確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角是關(guān)鍵．