Question

17．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A₁B₁C，旋轉角為ɑ（0°＜ɑ＜90°），連接BB₁．設CB₁交AB于點D，A₁B₁分別交AB、AC于點E，F．
（1）求證：△BCD≌△A₁CF；
（2）若旋轉角ɑ為30°，
①請你判斷△BB₁D的形狀；
②求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件，利用旋轉的性質及全等三角形的判定方法，來判定三角形全等．
（2）①根據旋轉的性質和等腰三角形的判定與性質得到△BB₁D是等腰三角形；
②如圖，過D作DG⊥BC于G，設DG=x，通過解直角三角形和已知條件BC=1列出關于x的方程，通過解方程求得x的值，然后易得CD=2x．

解答 （1）證明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC繞點C逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD與△CA₁F中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠C{A}_{1}F}\\{BC={A}_{1}F}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△A₁CF（ASA）．

（2）解：①△BB₁D是等腰三角形，理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又由旋轉的性質得到BC=B₁C，則∠CB₁B=∠CBB₁，
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°-α}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°．
∴∠B₁BD=∠CBB₁-∠CBA=75°-45°=30°，
∴∠BDB₁=480°-75°-30°=75°，
∴∠BDB₁=∠CB₁B=∠DB₁B=75°，
∴BD=BB₁，
∴△BB₁D是等腰三角形．
 ②如圖，過D作DG⊥BC于G，設DG=x，
∵ɑ=30°，∠DBE=45°，
∴BG=x，CG=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x+x=1，
解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故CD=2x=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，其中涉及到了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性質等知識點．本題中旋轉的性質的利用可以幫我們得出很多關于全等三角形的判定的條件．