Question

1．如圖，點B，C是線段AD的三等分點，以BC為直徑作⊙O，點P是圓上異于B，C的任意一點，連接PA，PB，PC，PD．
（1）當(dāng)PB=$\frac{1}{2}$PC時，求tan∠APB的值；
（2）當(dāng)P是$\widehat{BC}$上異于B，C的任意一點時，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

Answer 1

分析 （1）首先過點B作BE∥PC，與PA交于點E，根據(jù)AB=BC，可得$\frac{EB}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，推得EB=PB；然后根據(jù)BC是⊙O的直徑，求tan∠APB的值是多少即可．
（2）首先過點A作AE∥PC，與PB的延長線交于點E，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABE△CBP，即可判斷出BE=BP，AE=CP；最后推得tan∠APB=$\frac{AE}{PE}=\frac{PC}{2PB}$，tan∠DPC=$\frac{PB}{2PC}$，據(jù)此求出tan∠APB•tan∠DPC的值是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，過點B作BE∥PC，與PA交于點E，
，
∵AB=BC，
∴$\frac{EB}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴EB=$\frac{1}{2}PC$，
∵PB=$\frac{1}{2}PC$，
∴EB=PB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，∠PBE=90°，
∴tan∠APB=$\frac{BE}{PB}=1$．

（2）如圖2，過點A作AE∥PC，與PB的延長線交于點E，
，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，∠AEP=90°，
在△ABE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CPB=90°}\\{∠ABE=∠CBP}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBP，
∴BE=BP，AE=CP，
∴tan∠APB=$\frac{AE}{PE}=\frac{PC}{2PB}$，
∴tan∠DPC=$\frac{PB}{2PC}$，
∴tan∠APB•tan∠DPC=$\frac{PC}{2PB}•\frac{PB}{2PC}=\frac{1}{4}$，
即tan∠APB•tan∠DPC的值為$\frac{1}{4}$．

點評 （1）此題主要考查了全等三角形的判定，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
（2）此題還考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
（3）此題還考查了解直角三角形問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確解直角三角形時要用到的關(guān)系．