Question

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）如圖1，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′OB′，當(dāng)A′恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)△AB′O的面積為S₁，△BA′O的面積為S₂，S₁與S₂有何關(guān)系？為什么？
（3）若將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，S₁與S₂的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB，再用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AO=AA'，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AO=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AO=OA'，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)O到AB的距離等于點(diǎn)A'到AO的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（3）方法1、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角邊”證明△AON和△A'OM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．
方法2、利用三角形的中線(xiàn)判斷出S_△AOB'=S_△B'OC，再判斷出△A'OB≌△COB'，即S_△A'OB=S_△COB'，即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°；

（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴CA'=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OA'=AA'=AO，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂，


（3）S₁=S₂不發(fā)生變化；
方法1、理由：如圖，過(guò)點(diǎn)'作A'M⊥OB．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OB'交B'O的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，
∵△A'B'O是由△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，
∴BO=OB'，AO=OA'，
∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°-90°=90°，
∴∠AON=∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠A'OM}\\{∠OMA'=∠ONA}\\{AO=A'O}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN=A'M，
∴△BOA'的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂．

方法2、如圖2，
在x軸正半軸上取一點(diǎn)C，使OC=OA，連接B'C，
∴S_△AOB'=S_△B'OC，
由旋轉(zhuǎn)知，AO'=AO，BO=B'O，
∴OC=OA'
∵∠BOC=∠A'OB'=90°，
∴∠A'OB=∠COB'，
∴△A'OB≌△COB'，
∴S_△A'OB=S_△COB'，
∴S_△A'OB=S_△AOB'，
即S₁=S₂

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的面積計(jì)算公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．