Question

10．如圖，直線y=-$\frac{2}{3}$x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點A，B．
（1）求點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．
①點M在線段OA上運(yùn)動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標(biāo)；
②點M在x軸上自由運(yùn)動，若三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”．請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標(biāo)代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）①由M點坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo)，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出M、P、N的坐標(biāo)，由題意可知有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，可分別得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，
∴0=-2+c，解得c=2，
∴B（0，2），
∵拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-12+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{10}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x+2；

（2）①由（1）可知直線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∵M(jìn)（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N，
∴P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），
∴PM=-$\frac{2}{3}$m+2，AM=3-m，PN=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2-（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
當(dāng)∠BNP=90°時，則有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{PN}{PM}$，即$\frac{m}{3-m}$=$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+4m}{-\frac{2}{3}m+2}$，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
當(dāng)∠NBP=90°時，則有$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BP}{MP}$，
∵A（3，0），B（0，2），P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），
∴BP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{2}{3}m+2-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$m，AP=$\sqrt{（m-3）^{2}+（-\frac{2}{3}m+2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$（3-m），
∴$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+4m}{\frac{\sqrt{13}}{3}（3-m）}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{3}m}{-\frac{2}{3}m+2}$，解得m=0（舍去）或m=$\frac{11}{8}$，
∴M（$\frac{11}{8}$，0）；
綜上可知當(dāng)以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似時，點M的坐標(biāo)為（2.5，0）或（$\frac{11}{8}$，0）；
②由①可知M（m，0），P（m，-$\frac{2}{3}$m+2），N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），
∵M(jìn)，P，N三點為“共諧點”，
∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，
當(dāng)P為線段MN的中點時，則有2（-$\frac{2}{3}$m+2）=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2，解得m=3（三點重合，舍去）或m=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)M為線段PN的中點時，則有-$\frac{2}{3}$m+2+（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=-1；
當(dāng)N為線段PM的中點時，則有-$\frac{2}{3}$m+2=2（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{10}{3}$m+2），解得m=3（舍去）或m=-$\frac{1}{4}$；
綜上可知當(dāng)M，P，N三點成為“共諧點”時m的值為$\frac{1}{2}$或-1或-$\frac{1}{4}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的中點、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況，在（2）②中利用“共諧點”的定義得到m的方程是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，分情況討論比較多，難度較大．