Question

19．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．
（1）試求A，B，C的坐標(biāo)；
（2）將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD．
①求點D的坐標(biāo)；
②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；
（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0，x=0分別得出A，B，C的坐標(biāo)；
（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長得出D點坐標(biāo)；
②利用平行四邊形的判定方法結(jié)合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀；
（3）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，0=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
則A（-1，0），B（4，0），
當(dāng)x=0時，y=2，
故C（0，2）；

（2）①過點D作DE⊥x軸于點E，
∵將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，
∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
∴D（3，-2）；

②∵將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，
∴AC=BD，AD=BC，
∴四邊形ADBC是平行四邊形，
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形ADBC是矩形；

（3）由題意可得：BD=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，
則$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)△BMP∽△ADB時，
$\frac{PM}{BM}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
可得：BM=2.5，
則PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
當(dāng)△BMP₁∽△ABD時，
P₁（1.5，-1.25），
當(dāng)△BMP₂∽△BDA時，
可得：P₂（1.5，5），
當(dāng)△BMP₃∽△BDA時，
可得：P₃（1.5，-5），
綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（1.5，1.25），（1.5，-1.25），（1.5，5），（1.5，-5）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確分類討論是解題關(guān)鍵．