Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=$\sqrt{2}$+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1．

Answer 1

分析 ①如圖1，當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=$\sqrt{2}$MB′，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：①如圖1，
當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=$\sqrt{2}$MB′，
∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點B′，
∴BM=B′M，
∴CM=$\sqrt{2}$BM，
∵BC=$\sqrt{2}$+1，
∴CM+BM=$\sqrt{2}$BM+BM=$\sqrt{2}$+1，
∴BM=1，
綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1，
故答案為：$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．