Question

5．已知，△ABC中，∠BAC=90°，分別以AB、BC為邊作正方形ABDE和正方形BCFG，延長DC、GA交于點(diǎn)P．
（1）求證：△ABG≌△DBC；
（2）求證：PD⊥PG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可證明△ABG≌△DBC；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得：∠BAG=∠BDC，再由正方形的性質(zhì)證明∠P=∠E=90°，即PD⊥PG．

解答 證明：（1）∵四邊形ABDE和四邊形BCFG是正方形，
∴BG=BC，BA=BD，∠GBC=∠ABD=90°，
∴∠GBA=∠CBD，
在△ABG和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BC}\\{∠GBA=∠CBD}\\{BA=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DBC；
（2）∵△ABG≌△DBC，
∴∠BAG=∠BDC，
∵∠BAC=90°，
∴∠PAC+∠BAG=90°，
∵∠PAC+∠BDC=90°，∠EDC+∠BDC=90°，
∴∠PAC=∠EDC，
∴∠ACP=∠DCE，
∴∠P=∠E=90°，
∴PD⊥PG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用主以及垂直的判定方法，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理能力．