Question

15．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與一次函數(shù)y₁=x+k的圖象交于A（0，1）、B兩點，C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的表達式；
（2）把（1）中的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到新的二次函數(shù)${y_2}=a{x^2}+bx+c\;+m（a≠0，m為常數(shù)）$的圖象，定義新函數(shù)f：“當自變量x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁或y₂，如果y₁≠y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁、y₂中的較小值；如果y₁=y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁（或y₂）．”當新函數(shù)f的圖象與x軸有三個交點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，把點A（0，1）代入，利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象平移得到新的二次函數(shù)y₂=ax²+bx+c+m（a≠0，m為常數(shù)）的圖象的過程中，與x軸的交點由兩點變?yōu)槿�點，由三點變?yōu)閮牲c，從而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，
由拋物線過點A（0，1），可得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x+1；

（2）如圖所示：當拋物線的頂點在x軸上時，即m=0時，新函數(shù)f的圖象與x軸有兩個個交點，
當拋物線與直線交于（-1，0）時，
0=（-1）²-2×（-1）+1+m，解得m=-4，
即m=-4時新函數(shù)f的圖象與x軸有兩個交點，

故當新函數(shù)f的圖象與x軸有三個交點時，m的取值范圍為-4＜m＜0．

點評 本題考查了直線與拋物線解析式的求法、二次函數(shù)的圖象、拋物線和x軸的交點以及拋物線的相關(guān)性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是熟練掌握拋物線頂點式與交點式與性質(zhì)之間的聯(lián)系．