Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（2，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．
（1）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MAB的面積和平行四邊形ABDC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B，D重合），連接PC，PO，試探究△CDP與△BOP的面積和的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在第一、四象限，且在直線BD上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPO，∠DCP，∠BOP的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先求出平行四邊形ABDC的面積，設(shè)出點(diǎn)M的面積，得出△MAB的面積為$\frac{3}{2}$|m|=6即可得出結(jié)論；
（2）先求出直線BD解析式，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的方法，利用圖形面積的和差得出△CDP與△BOP的面積和即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵A（-10），B（2，0），
∴AB=3，
由平移得，C（0，2），D（3，2），
∴S_{平行四邊形ABDC}=AB•OC=3×2=6，
設(shè)點(diǎn)M（0，m），
∴OM=|m|，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×3|m|=$\frac{3}{2}$|m|，
∵△MAB的面積和平行四邊形ABDC的面積相等，
∴$\frac{3}{2}$|m|=6，
∴m=±4，
∴M（0，4）或（0，-4）；

（2）如圖2，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，交CD于E，
由平移知，CD∥AB，
∴PE⊥CD，
∵B（2，0），D（3，2），
∴直線BD的解析式為y=2x-4，
設(shè)P（a，2a-4），
∴OF=a，
∵點(diǎn)P在線段BD上，
∴2＜a＜3
∴S_△CDP+S_△BOP=S_梯形OBDC-S_△COP=$\frac{1}{2}$（OB+CD）×OC-$\frac{1}{2}$OC×OF=$\frac{1}{2}$（2+3）×2-$\frac{1}{2}$×2×a=5-a，
∴2＜S_△CDP+S_△BOP＜3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，如圖3，
延長(zhǎng)OP交CD的延長(zhǎng)線于E，
由平移知，CD∥OB，
∴∠BOP=∠CEP，
∴∠CPO=∠DCP+∠CEP=∠DCP+∠BOP，

②當(dāng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，
同①得，∠CEO=∠POB，
∵∠CEO=∠DCP+∠CPO，
∴∠POB=∠DCP+∠CPO；



③當(dāng)點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，
同②得，∠DCP=∠POB+∠CPO．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，三角形，梯形的面積公式，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是求出平行四邊形的面積，解（2）的關(guān)鍵是利用面積和差得出面積，解（3）的關(guān)鍵是分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．