Question

12．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．
（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；
（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）先證明△ACF≌△ACE，從而得到CF=CE，然后再證明△ACE為等腰三角形，則CE=AC=4$\sqrt{2}$；
（2）當∠AFE=90°，可證明△ADF≌△FCE，則FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，從而可求得a、b的值，同理當∠AEF=90°時，也可求得a、b的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被對角線AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，
∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4$\sqrt{2}$，即：a=b=4$\sqrt{2}$．
（2）當△AEF是直角三角形時，
①如圖所示：

∵∠AFE=90°，
∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4．
②當∠AEF=90°時，同①的方法得，CF=4，CE=8，
∴a=4，b=8．

點評 本題主要考查的是正方形的性質、全等三角形的性質和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．