Question

2．如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接BC，與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F．設(shè)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；
②當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由
③當(dāng)m為何值時(shí)，△PCF為直角三角形，直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）令拋物線(xiàn)解析式中y=0，得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）①令拋物線(xiàn)解析式中x=0求出y值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，再由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m找出點(diǎn)F、P的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論；
②利用配方法求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E坐標(biāo)以及線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出DE=PF，由此可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
③由PF⊥x軸可得出若要△PCF為直角三角形，則∠CFP=90°或∠PCF=90°．當(dāng)∠CFP=90°時(shí)，可得出點(diǎn)C、F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的解析式即可得出m值；當(dāng)∠PCF=90°時(shí)結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得出△PCF為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=-x²+2x+3中y=0，
則有-x²+2x+3=（3-x）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．
（2）①令y=-x²+2x+3中x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C（0，3）．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PF⊥x軸，
∴點(diǎn)P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），
∴PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0≤m≤3）．
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，頂點(diǎn)D（1，4），
將x=1代入y=-x+3中，得：y=2，
∴點(diǎn)E（1，2），
∴DE=4-2=2．
∵四邊形PEDF為平行四邊形，
∴DE=PF，即2=-m²+3m，
解得：m₁=1（舍去），m₂=2，
∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
③∵PF⊥x軸，
∴∠CPF＜90°，
若要△PCF為直角三角形，則∠CFP=90°或∠PCF=90°．
（i）當(dāng)∠CFP=90°時(shí)，
∵PF⊥x軸，∠CFP=90°，
∴CF∥x軸，
∴點(diǎn)C、F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∵點(diǎn)C（0，3），拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴m=2；
（ii）當(dāng)∠PCF=90°時(shí)，
∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），∠PCF=90°，
∴∠CPF=∠OCB=45°，
∴△PCF為等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$CP=-m²+3m=2m，
解得：m=1或m=0（舍去）．
綜上所述：當(dāng)m為1或2時(shí)，△PCF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）解關(guān)于x的一元二次方程；（2）①求出直線(xiàn)BC的解析式；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元二次方程；③根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（等腰直角三角形的性質(zhì)）解決問(wèn)題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用一次（或二次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．