Question

3．如圖，在直角梯形ABON中，AN∥BO，∠ANO=90°，點(diǎn)A恰好在線段OB垂直平分線上，P為ON上一點(diǎn)，∠OPB=∠OAB，OA、OB交于點(diǎn)M，若ON=3，求OP+PB的值．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AD⊥OB于D，交PB于點(diǎn)E，連接OE，則AD∥NO，AD=ON=3，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=AB，得出OD=BD，∠OAD=∠BAD，證出∠BAD=∠ABM，得出AE=BE，證出DE是△OPB的中位線，得出E是PB的中點(diǎn)，得出PB=2AE，得出OP+PB=2AD即可．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥OB于D，交PB于點(diǎn)E，連接OE，如圖所示：
則AD∥NO，AD=ON=3，
∵點(diǎn)A恰好在線段OB垂直平分線上，
∴OA=AB，
∴AD為∠OAB的平分線，OD=BD，
∴∠OAD=∠BAD，
∵AD∥ON，
∴∠POM=∠OAD，
又∵OA⊥PB，∠OPB=∠OAB，
∴∠POM=∠ABM，
∴∠BAD=∠ABM，
∴AE=BE，
∵OD=BD，AD∥ON，
∴DE是△OPB的中位線，
∴OP=2DE，E是PB的中點(diǎn)，
∴PB=2BE=2AE，
∴OP+PB=2（DE+AE）=2AD=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角梯形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線；熟練掌握直角梯形和線段垂直平分線的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．