Question

1．設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的圓的圓心O在直線l上運動，A、O兩點之間的距離為d．
（1）如圖①，當(dāng)r＜a時，填表：

d，a，r之間的關(guān)系	⊙O與正方形的公共點個數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
0≤d＜a-r	0

（2）如圖②，⊙O與正方形有5個公共點B、C、D、E、F，求此時r與a之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）由（1）可知，d、a、r之間的數(shù)量關(guān)系和⊙O的與正方形的公共點個數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)r=a時，請根據(jù)d、a、r之間的數(shù)量關(guān)系，判斷⊙O與正方形的公共點個數(shù)．
（4）當(dāng)r與a之間滿足（2）中的數(shù)量關(guān)系，⊙O與正方形的公共點個數(shù)為0，1，2，5或8．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)r＜a時，⊙A的直徑小于正方形的邊長，⊙A與正方形中垂直于直線l的一邊相離、相切、相交，三種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數(shù)；
（2）如圖②，當(dāng)⊙O與正方形有5個公共點時，連接OC，用a、r表示△COG的各邊長，在Rt△OCG中，由勾股定理求a、r的關(guān)系；
（3）當(dāng)r=a時，⊙O的直徑等于正方形的邊長，此時會出現(xiàn)⊙A與正方形相離，與正方形一邊相切，相交，與正方形四邊相切，四種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數(shù)；
（4）當(dāng)r與a之間滿足（2）中的數(shù)量關(guān)系，即5a=4r，⊙O與正方形的公共點個數(shù)為5個．

解答 解：（1）如圖①，

d，a，r之間的關(guān)系	⊙O與正方形的公共點個數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
0≤d＜a-r	0

所以，當(dāng)r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數(shù)可能有2、1、0個；
（2）如圖②所示，連接OC．
則OE=OC=r，OG=EG-OE=2a-r．
在Rt△OCG中，由勾股定理得：
OG²+GC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r；
∴r=$\frac{5}{4}$a，
（3）如圖所示：

d、a、r之間關(guān)系	公共點的個數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當(dāng)r=a時，⊙O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、4個；
（4）由（2）可知當(dāng)r=$\frac{5}{4}$a時，
∴2r=2.5a＞2a，
∵正方形的邊長為2a，
∴正方形的對角線為2$\sqrt{2}$a，
∴2r＜2$\sqrt{2}$a，
∴r＜$\sqrt{2}$a，
⊙O與正方形的公共點個數(shù)為0，1，2，5或8個如圖所示．
故答案為0，1，2，5或8．

點評 本題是一道較為新穎的幾何壓軸題．考查圓、相似、正方形等幾何知識，綜合性較強，有一定的難度，試題的區(qū)分度把握非常得當(dāng)，是一道很不錯的壓軸題．