Question

19．已知H是銳角△ABC的垂心，以邊BC的中點(diǎn)為圓心、過(guò)點(diǎn)H的圓與直線(xiàn)BC交于A(yíng)₁，A₂兩點(diǎn)，以邊CA的中點(diǎn)為圓心、過(guò)點(diǎn)H的圓與直線(xiàn)CA交于B₁、B₂兩點(diǎn)，以邊AB的中點(diǎn)為圓心、過(guò)點(diǎn)H的圓與直線(xiàn)AB交于C₁、C₂兩點(diǎn)，證明：A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂六點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 作出輔助線(xiàn)，先判斷出A'H⊥BC，再用切割線(xiàn)定理得出AC₁×AC₂=AA'×AH=AB₁×AB₂，從而判斷出B₁，B₂，C₁，C₂四點(diǎn)共圓．最后判斷出OB₁=OB₂=OC₁=OC₂．同理可得，OA₁=OA₂=OB₁=OB₂，結(jié)論得證．

解答 證明：如圖，

∵B₀，C₀分別是邊CA，AB的中點(diǎn)．
設(shè)以邊B₀為圓心，過(guò)點(diǎn)H的圓與以C₀為圓心，過(guò)點(diǎn)H的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A'，
則A'H⊥C₀B₀．
∵B₀，C₀分別是邊CA，AB的中點(diǎn)，
∴C₀B₀∥BC，從而A'H⊥BC，
于是點(diǎn)A'在A(yíng)H上．
由切割線(xiàn)定理：
AC₁×AC₂=AA'×AH=AB₁×AB₂，
∴B₁，B₂，C₁，C₂四點(diǎn)共圓．
分別作B₁B₂，C₁C₂的垂直平分線(xiàn)，設(shè)它們相交于點(diǎn)O，則O是四邊形B₁B₂C₁C₂的外心，
且OB₁=OB₂=OC₁=OC₂．
同理可得，OA₁=OA₂=OB₁=OB₂，
A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂六點(diǎn)都是在以O(shè)為圓心，OA₁為半徑的圓上，
故六點(diǎn)A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂共圓．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形的五心，主要考查了切割線(xiàn)定理，四點(diǎn)共圓，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)三角形的外心，判斷四點(diǎn)共圓是解本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是作出輔助線(xiàn)．是一道特別難的競(jìng)賽題．