Question

6．閱讀下面的情景對話，然后解答問題：
老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．
小華：等邊三角形一定是奇異三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？
（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，是真命題，還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=5$\sqrt{2}$、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義容易得出結(jié)果；
（2）分c是斜邊和b是斜邊兩種情況，再根據(jù)勾股定理判斷出所給的三角形是否符合奇異三角形的定義；
（3）先根據(jù)勾股定理得出Rt△ABC各邊之間的關(guān)系，再根據(jù)此三角形是奇異三角形可用a表示出b、c的值，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)等邊三角形的邊長為a，
∵a²+a²=2a²，
∴等邊三角形一定是奇異三角形，
∴“等邊三角形一定是奇異三角形”，是真命題；
（2）①當c為斜邊時，Rt△ABC不是奇異三角形；
②當b為斜邊時，Rt△ABC是奇異三角形；理由如下：
分兩種情況：
①當c為斜邊時，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴a=b，
∴a²+c²≠2b²（或b²+c²≠2a²），
∴Rt△ABC不是奇異三角形．
②當b為斜邊時，b=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$=5$\sqrt{6}$，
∵a²+b²=200
∴2c²=200
∴a²+b²=2c²
∴Rt△ABC是奇異三角形．    
（3）在Rt△ABC中，a²+b²=c²，
∵c＞b＞a＞0
∴2c²＞a²+b²，2a²＜b²+c²，
∵Rt△ABC是奇異三角形，
∴a²+c²=2b²，
∴2b²=a²+（a²+b²），
∴b²=2a²，
∴b=$\sqrt{2}$a
∵c²=a²+b²=3a²，
∴c=$\sqrt{3}$a
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了奇異三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，在解答（2）時要注意分類討論．