Question

17．如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)是16，DE=2，△FEC是等腰三角形，∠FEC=90°，則AE的長(zhǎng)是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 設(shè)AE=x，由矩形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC=x+2，∠A=∠D=90°，得出CD=6-x，由已知條件得出EF=CE，∠DEC+∠AEF=90°，證出∠AFE=∠DEC，由AAS證明△AEF≌△DCE，得出AE=CD，即x=6-x，解方程即可．

解答 解：設(shè)AE=x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC=x+2，∠A=∠D=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵矩形ABCD的周長(zhǎng)是16，
∴CD=AB=$\frac{1}{2}$（16-2x-4）=6-x，
∵△FEC是等腰三角形，∠FEC=90°，
∴EF=CE，∠DEC+∠AEF=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠AFE=∠DEC}&{\;}\\{EF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD，
即x=6-x，
解得：x=3，
∴AE=3；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．