Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x相交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖，現(xiàn)將直角∠FCE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)始終保持直角邊CF與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)D，直角邊CE與x軸交于點(diǎn)E．
①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，tan∠CED的值是否會(huì)發(fā)生變化？若改變，請說明理由，若不變，請求出這個(gè)值；
②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，求出x、y的值各是多少，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少．
（2）①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，tan∠CED的值不變．首先過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，根據(jù)∠DCH+∠DCG=90°，∠ECG+∠DCG=90°，推得∠DCH=∠ECG；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△CDH≌△CEG，推得CD=CE，所以tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=1，據(jù)此解答即可．
②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似．根據(jù)題意，分兩種情況：Ⅰ、若△ODE∽△CEF；Ⅱ、若△ODE∽△CFE；然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分類討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4）．

（2）①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，tan∠CED的值不變．
如圖1，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，
，
∵∠DCH+∠DCG=90°，∠ECG+∠DCG=90°，
∴∠DCH=∠ECG，
在△CDH≌△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCH=∠ECG}\\{CH=CG=4}\\{∠CHD=∠CGE=90°}\end{array}\right.$，
∴△CDH≌△CEG，
∴CD=CE，
∴在Rt△CDE中，tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=1，
即在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，tan∠CED的值不變，恒等于1．

②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似．
Ⅰ、如圖2，
，
若△ODE∽△CEF，
則∠OED=∠CFE，
∴DE=DF，
又∵OD⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠FCE=90°，
∴點(diǎn)O是Rt△CEF斜邊EF的中點(diǎn)，
∴$OC=\frac{1}{2}EF$，
∵CG=CH=4，
∴OC=$4\sqrt{2}$，
∴$OE=OF=OC=4\sqrt{2}$，
∵CH∥EF，
∴△CHD∽△FOD，
∴$\frac{HD}{OD}=\frac{CH}{FO}$，
即$\frac{4-OD}{OD}=\frac{4}{{4\sqrt{2}}}$，
解得$OD=8-4\sqrt{2}$，
∴D（0，8-4$\sqrt{2}$）．

Ⅱ、如圖3，過點(diǎn)C作CM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，
，
若△ODE∽△CFE，
則∠OED=∠CEF，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
∴CM=CN=4，
在Rt△CMD和Rt△CNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{CM=CN}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△CNE（HL），
∴∠CDM=∠CE0，
由①，可得△CDE為等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
∴∠CEO=∠OED=∠CDM=22.5°，
∵CM=CN=4，
∴△CMO為等腰直角三角形，
∴∠COM=45°，
∴∠OCD=∠COM-∠CDM=45°-22.5°=22.5°，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC，
∵CM=CN=4，
∴OC=4$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=4$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，
∴D（0，-4$\sqrt{2}$）．
綜上，可得
在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8-4$\sqrt{2}$）或（0，-4$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
（3）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．