Question

3．如圖，∠AOB=90°，C在OB的延長(zhǎng)線上，D為⊙O上一點(diǎn)，∠BAD=∠BDC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，且OB=BC．，求四邊形AOBD的面積．

Answer 1

分析 （1）作直徑BE，連接OD、DE，如圖，利用圓周角定理得到∠BDE=90°，∠E=∠BAD，由于∠BAD=∠BDC．則∠E=∠BDC，加上∠DBO=∠BDO，則∠BDC+∠BDO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)直角斜邊上中線性質(zhì)得DB=OB=OD，則△OBD為等邊三角形，所以S_△OBD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∠BOD=60°，再作DF⊥OA于F，如圖，則DF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，所以S_△ODA=$\frac{1}{4}$，然后利用四邊形AOBD的面積=S_△OBD+S_△ODA進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 （1）證明：作直徑BE，連接OD、DE，如圖，
∵BE為直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠DBE+∠E=90°，
∵∠E=∠BAD，∠BAD=∠BDC．
∴∠E=∠BDC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠BDC+∠BDO=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵OB=CB，
∴BD為直角△ODC的斜邊OC的中線，
∴DB=OB=OD，
∴△OBD為等邊三角形，
∴S_△OBD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$OB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∠BOD=60°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOD=30°，
作DF⊥OA于F，如圖，
在Rt△ODF中，DF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ODA=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴四邊形AOBD的面積=S_△OBD+S_△ODA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”．也考查了圓周角定理．