Question

7．如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，BD交AE于M．
（1）求證：△AEC≌△ADB；
（2）若BC=2，∠BAC=30°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，進(jìn)而得到∠CAE=∠DAB，再根據(jù)SAS即可判定△AEC≌△ADB；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G，根據(jù)四邊形ADFC是菱形，以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠FCB=45°，求得BG=GC=BCsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，再根據(jù)∠BFC=30°，即可得到BF=2BG．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G，
∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=75°．
∵當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，AC∥DF，
∴∠FBA=∠BAC=30°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
∴∠ACE=∠ADB=30°，
∴∠FCB=45°．
∵BG⊥EC，
∴∠GBC=45°，
∴BG=GC=BCsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=75°，∠ABD=30°，∠FCB=45°
∴∠BFC=180°-75°-45°-30°=30°，
∴BF=2BG=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形與含30°角的直角三角形．