Question

5．已知△ABC中，AB＞AC，D為射線BA上一點（不與B，A重合），∠ADC=∠ACD，設∠ACB=α，∠ABC=β．
（1）如圖（1），點D在AB邊上，
①若α=90°，β=36°，則∠BCD=27度；
②試用含α，β的式子表示∠BCD，并說明理由；
（2）如圖（2），點D在BA的延長線上，根據(jù)已知補全圖形，并直接寫出用α，β表示∠BCD的式子．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，利用三角形外角性質得∠ADC=∠B+∠BCD，加上∠ACD=∠ACB-∠BCD，∠ADC=∠ACD，于是∠B+∠BCD=∠ACB-∠BCD，易得∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），然后把α=90°，β=36°代入計算可得到∠BCD的度數(shù)；
②由①可得∠BCD與α和β的關系；
（2）如圖2，利用三角形內角和得到∠ADC=180°-∠B-∠BCD，加上∠ACD=∠BCD-∠ACB，∠ADC=∠ACD，則180°-∠B-∠BCD=∠BCD-∠ACB，然后整理即可得到∠BCD與α和β的關系．

解答 解：（1）①如圖1，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ACD=∠ACB-∠BCD，
而∠ADC=∠ACD，
∴∠B+∠BCD=∠ACB-∠BCD，
即β+∠BCD=α-∠BCD，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），
當α=90°，β=36°，∠BCD=$\frac{1}{2}$（90°-36°）=27°；
故答案為27；
②由①得∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），
（2）如圖2，∵∠ADC=180°-∠B-∠BCD，∠ACD=∠BCD-∠ACB，
而∠ADC=∠ACD，
∴180°-∠B-∠BCD=∠BCD-∠ACB，
即180°-β-∠BCD=∠BCD-α，
∴∠BCD=90°-$\frac{1}{2}$（α-β）．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．