Question

2．三個(gè)不等于零的有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足（a+b）（b+c）（c+a）=0，則$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+^{25}+{c}^{25}}$=1．

Answer 1

分析 先得出a=-b或b=-c或c=-a，分三種情況代換，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵三個(gè)不等于零的有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足（a+b）（b+c）（c+a）=0，∴a+b=0或b+c=0或c+a=0，∴a=-b或b=-c或c=-a，
當(dāng)a=-b時(shí)，a+b+b=-b+b+c=c，
a³+b³+c³=（-b）³+b³+c³=-b³+b³+c³=c³，
a⁵+b⁵+c⁵=（-b）⁵+b⁵+c⁵=-b⁵+b⁵+c⁵=c⁵，
a⁹+b⁹+c⁹=（-b）⁹+b⁹+c⁹=-b⁹+b⁹+c⁹=c⁹，
a²⁵+b²⁵+c²⁵=（-b）²⁵+b²⁵+c²⁵=-b²⁵+b²⁵+c²⁵=c²⁵
∴$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+^{25}+{c}^{25}}$=$\frac{c×{c}^{3}×{c}^{5}×{c}^{7}×{c}^{9}}{{c}^{25}}$=$\frac{{c}^{1+3+5+7+9}}{{c}^{25}}$=$\frac{{c}^{25}}{{c}^{25}}$=1，
同理：當(dāng)b=-c時(shí)或當(dāng)c=-a時(shí)，則$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+^{25}+{c}^{25}}$=1，
即：則$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+^{25}+{c}^{25}}$=1，
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了冪的乘方，積的次方，同底數(shù)冪的乘法，解本題的關(guān)鍵是得出a=-b或b=-c或c=-a，是一道很好的基礎(chǔ)題．