Question

8．如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接BO，求BO的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得CH是角平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)得：OD=OE，根據(jù)切線的判定得出結論；
（2）連接OE，先求高線CH的長，及BH和BE的長，設未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理計算即可．

解答 證明：（1）如圖1，∵AC=BC，CH是高，
∴CH平分∠ACB，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∵OD是半徑，
∴OE也是半徑，
∴⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，連接OE，則OE⊥AC，
∵CH⊥AB，⊙O過點H，
∴AB與⊙O相切，
由（1）知：BC與⊙O相切，
∴BH=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=BC=5，
∴CE=5-3=2，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
設OH=x，則OE=x，OC=4-x，
則（4-x）²=x²+2²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，常利用以下方法證明切線：①有垂直，證明垂線段是半徑；②作垂直，證明是半徑；常見的輔助線有：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”； ②有切線時，常�！坝龅角悬c連圓心得半徑”．