Question

5．如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，H為CG的中點(diǎn)，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，則3S_△EDH=13S_△DHC，其中結(jié)論正確的有①②③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
③同②證明△EHF≌△DHC即可；
④若$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=$\sqrt{26}$x，CD=6x，則S_△DHC=$\frac{1}{2}$×HM×CD=3x²，S_△EDH=$\frac{1}{2}$×DH²=13x²．

解答 解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，
∴EG=DF，故①正確；
②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，
∴FH=CH，∠GFH=$\frac{1}{2}$∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFH=∠DCH}\\{FH=CH}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；
③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，
∴FH=CH，∠GFH=$\frac{1}{2}$∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFH=∠DCH}\\{FH=CH}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；
④∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=2BE，
∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=DF}\\{∠EGH=∠HFD}\\{GH=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD為等腰直角三角形，
過H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：
設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=$\sqrt{26}$x，CD=6x，
則S_△DHC=$\frac{1}{2}$×HM×CD=3x²，S_△EDH=$\frac{1}{2}$×DH²=13x²，
∴3S_△EDH=13S_△DHC，故④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．