Question

12．如圖1，在正方形ABCD中，AB=1，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)CE、DE，DE交邊BC于點(diǎn)F，設(shè)BE=x，CF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）如圖2，對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)記作O，直線OF交線段CE于點(diǎn)G，求證：∠CEB=∠COG；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DCF∽△EBF，得到成比例線段，代入x、y可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的結(jié)論求出CF•AE的值，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AC•CO的值，證明△OCF∽△EAC，得到答案；
（3）根據(jù)勾股定理求出CE，證明△OCG∽△ECA，得到比例式求出x的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴DC∥AB，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{y}{1-y}$，
∴y=$\frac{1}{x+1}$，x的取值范圍是x＞0；
（2）∵CF•AE=$\frac{1}{x+1}$•（x+1）=1，
CA•CO=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴CF•AE=CA•CO，即$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CO}{AE}$，
又∠OCF=∠EAC=45°，
∴△OCF∽△EAC，
∴∠CEB=∠COG；
（3）在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，∵∠CEB=∠COG，∠ECA=∠ECA，
∴△OCG∽△ECA，
∴$\frac{OG}{AE}$=$\frac{CO}{CE}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1+x}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
解得，x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是方程的根，
∴x的值為3或$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．