Question

12．如圖，在△ABC中，AC=BC=10，AB=16，點(diǎn)P在邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合），作∠CPQ=∠A，PQ交BC于Q，設(shè)AP=x，BQ=y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，△PCQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，得到∠A=∠B，根據(jù)∠CPQ=∠A，求得∠ACP=∠BPQ，于是得到△ACP∽△QPB，得到比例式$\frac{AC}{PB}=\frac{AP}{BQ}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．
（2）①當(dāng)PC=PQ時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$=1，于是得到AP=x=6，②當(dāng)PC=CQ時(shí)，得到∠CPQ=∠CQP=∠A=∠B，推出這種情況不存在；③當(dāng)PQ=CQ時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CPQ=∠PCQ=∠A=∠B，得到PC=PB，根據(jù)$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPQ=∠A，
∴∠ACP=180°-∠A-∠APC，∠QPB=180°-∠CPQ-∠APC，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴△ACP∽△QPB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{AP}{BQ}$，
即$\frac{10}{16-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{8}{5}$x；

（2）①當(dāng)PC=PQ時(shí)，
∵△ACP∽△QPB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$=1，
∴PB=AC=10，
∴AP=x=6，
②當(dāng)PC=CQ時(shí)，
∴∠CPQ=∠CQP=∠A=∠B，
∴PQ∥AB，
∴這種情況不存在；
③當(dāng)PQ=CQ時(shí)，
∴∠CPQ=∠PCQ=∠A=∠B，
∴PC=PB，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{PC}{PQ}$，
即$\frac{10}{10-x}=\frac{10-x}{10-y}$，$\frac{10}{16-x}=\frac{16-x}{10-y}$，
∴x=$\frac{39}{4}$，
∴當(dāng)x=6或$\frac{39}{4}$時(shí)，△PCQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．